Как сделать таблицу для параболы

Квадратичная функция. Парабола

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Квадратичная функция — это функция вида

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».

Как построить график квадратичной функции

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

parabola simple

Также парабола может быть перевернутой.

inverted parabola

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».

Если « a > 0 », то ветви направлены вверх. parabola small

Если « a », то ветви направлены вниз. inverted parabola small

В нашей функции « a = 1 », это означает, что ветви параболы направлены вверх. parabola small

Чтобы найти « x0 » (координата вершины по оси « Ox ») нужно использовать формулу:

Найдем « x0 » для нашей функции « y = x 2 −7x + 10 ».

Теперь нам нужно найти « y0 » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x0 » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».

Выпишем полученные координаты вершины параболы.

(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».

mark top parabola

Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).

Наглядно нули функции на графике выглядят так:

zeroes of function

Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.

Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».

0 = x 2 −7x + 10
x 2 −7x + 10 = 0
x1;2 =

7 ± √ 49 − 4 · 1 · 10
2 · 1

x1;2 =

7 ± √ 9
2

x1;2 =

7 ± 3
2

x1 =

7 + 3
2
x2 =

7 − 3
2
x1 =

10
2
x2 =

4
2
x1 = 5 x2 = 2

Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью « Ox ». Назовем эти точки и выпишем их координаты.

Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

zeroes of function on system coordinate

Возьмем четыре произвольные числовые значения для « x ». Целесообразно брать целые числовые значения на оси « Ox », которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

Для каждого выбранного значения « x » рассчитаем « y ».

Запишем полученные результаты в таблицу.

x 1 3 4 6
y 4 −2 −2 4

Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

additional dots

Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.

parabola on system coordinate

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции « y = −3x 2 − 6x − 4 ».

x0 =

−b
2a

x0 =

−(−6)
2 · (−3)

=

6
−6

= −1

y0(−1) = (−3) · (−1) 2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1

(·) A (−1; −1) — вершина параболы.

Точки пересечения с осью « Ox » ( y = 0 ).

x1;2 =

−6 ± √ 6 2 − 4 · 3 · 4
2 · 1

x1;2 =

−6 ± √ 36 − 48
2

x1;2 =

−6 ± √ −12
2

Ответ: нет действительных корней.

Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось « Ox ».

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки « (−2; −4) » и « (0; −4) ». Построим и подпишем график функции.

Источник

Квадратичная функция. Построение Параболы

5f2306e87f990928916128

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Рассмотрим три случая:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Как строим:

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Как строим:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) * (x + b)

Как строим:

Чтобы не запутаться во всех графиках, приходите вместе с ребенком на бесплатный урок математики в современную школу Skysmart: порисуем параболы на интерактивной онлайн-доске, разберемся в самых коварных формулах и покажем, что математика может быть увлекательным путешествием.

Источник

Построение параболы в Microsoft Excel

Parabola v Microsoft

Построение параболы является одной из известных математических операций. Довольно часто она применяется не только в научных целях, но и в чисто практических. Давайте узнаем, как совершить данную процедуру при помощи инструментария приложения Excel.

Создание параболы

Парабола представляет собой график квадратичной функции следующего типа f(x)=ax^2+bx+c. Одним из примечательных его свойств является тот факт, что парабола имеет вид симметричной фигуры, состоящей из набора точек равноудаленных от директрисы. По большому счету построение параболы в среде Эксель мало чем отличается от построения любого другого графика в этой программе.

Создание таблицы

Прежде всего, перед тем, как приступить к построению параболы, следует построить таблицу, на основании которой она и будет создаваться. Для примера возьмем построение графика функции f(x)=2x^2+7.

Perehod k progressii v Microsoft

В поле «Шаг» вводим число «1». В поле «Предельное значение» указываем число «10», так как мы рассматриваем диапазон x от -10 до 10 включительно. Затем щелкаем по кнопке «OK».

Okno progressii v Microsoft

Stolbets X zapolnen znacheniyami v Microsoft

Только вместо значения x подставляем адрес первой ячейки столбца «X», который мы только что заполнили. Поэтому в нашем случае выражение примет вид:

Znacheniya pervoy yacheyki stolbtsa fx v Microsoft

Marker zapolneniya v Microsoft Excel 7

Stolbets fx zapolnen v Microsoft

На этом формирования таблицы можно считать законченным и переходить непосредственно к построению графика.

Построение графика

Как уже было сказано выше, теперь нам предстоит построить сам график.

Postroenie diagrammyi v Microsoft

Parabola postroena v Microsoft

Редактирование диаграммы

Теперь можно немного отредактировать полученный график.

Perehod k izmeneniyu tipa diagrammyi v Microsoft

Okno izmeneniya tipa diagrammyi v Microsoft

Izmenenyiy vid parabolyi v Microsoft

Кроме того, можно совершать любые другие виды редактирования полученной параболы, включая изменение её названия и наименований осей. Данные приёмы редактирования не выходят за границы действий по работе в Эксель с диаграммами других видов.

Как видим, построение параболы в Эксель ничем принципиально не отличается от построения другого вида графика или диаграммы в этой же программе. Все действия производятся на основе заранее сформированной таблицы. Кроме того, нужно учесть, что для построения параболы более всего подходит точечный вид диаграммы.

Источник

Как сделать таблицу для параболы

Построение графиков функций — одна из возможностей Excel. В этой статье мы рассмотрим процесс построение графиков некоторых математических функций: линейной, квадратичной и обратной пропорциональности.

Функция, это множество точек (x, y), удовлетворяющее выражению y=f(x). Поэтому, нам необходимо заполнить массив таких точек, а Excel построит нам на их основе график функции.

1) Рассмотрим пример построения графика линейной функции: y=5x-2

Графиком линейной функции является прямая, которую можно построить по двум точкам. Создадим табличку

В нашем случае y=5x-2. В ячейку с первым значением y введем формулу: =5*D4-2. В другую ячейку формулу можно ввести аналогично (изменив D4 на D5) или использовать маркер автозаполнения.

В итоге мы получим табличку:

excel gr 2

Теперь можно приступать к созданию графика.

excel gr 3

Появиться пустая область диаграмм. Нажимаем кнопку ВЫБРАТЬ ДАННЫЕ

Выберем данные: диапазон ячеек оси абсцисс (х) и оси ординат (у). В качестве имени ряда можем ввести саму функцию в кавычках «y=5x-2» или что-то другое. Вот что получилось:

Нажимаем ОК. Перед нами график линейной функции.

Параболу по двум точкам уже не построить, в отличии от прямой.

Зададим интервал на оси x, на котором будет строиться наша парабола. Выберу [-5; 5].

Задам шаг. Чем меньше шаг, тем точнее будет построенный график. Выберу 0,2.

Заполняю столбец со значениями х, используя маркер автозаполнения до значения х=5.

Столбец значений у рассчитывается по формуле: =2*B4^2-2. Используя маркер автозаполнения, рассчитываем значения у для остальных х.

Чтобы не было точек на графике, поменяйте тип диаграммы на ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ.

Любые другие графики непрерывных функций строятся аналогично.

3) Если функция кусочная, то необходимо каждый «кусочек» графика объединить в одной области диаграмм.

Рассмотрим это на примере функции у=1/х.

Функция определена на интервалах (- беск;0) и (0; +беск)

Создадим график функции на интервалах: [-4;0) и (0; 4].

Подготовим две таблички, где х изменяется с шагом 0,2:

Находим значения функции от каждого аргумента х аналогично примерам выше.

На диаграмму вы должны добавить два ряда — для первой и второй таблички соответственно

Далее нажимаем кнопочку ДОБАВИТЬ и заполняем табличку ИЗМЕНЕНИЕ РЯДА значениями из второй таблички

Получаем график функции y=1/x

В дополнение привожу видео — где показан порядок действий, описанный выше.

В следующей статье расскажу как создать 3-мерные графики в Excel.

Источник

OpenOffice.org Calc. Построение графиков функций

Цель:

Тип занятия: усвоение нового материала.

Межпредметные связи: математика, русский язык, экономика.

Уровень усвоения знаний: умение и навыки.

Контроль: на выполнение практических действий.

Обеспечение занятия: инструкция к практической работе.

Общие сведения

1. График (Диаграмма) XY

Диаграмма XY в ее базовой форме основана на одном ряде данных, состоящем из имени, списка значений X и списка значений Y. Каждая пара значения (X, Y) отображается в виде точки в системе координат. Имя ряда данных связано со значениями Y и указывается в условных обозначениях.

Диаграмма XY может содержать несколько рядов данных.

Вариант диаграммы XY можно выбрать на первой странице Мастера диаграмм или по пути Формат —>Тип диаграммы для диаграммы в режиме редактирования.

Диаграмма создается с использованием настроек по умолчанию. После создания диаграммы можно редактировать ее свойства для изменения внешнего вида. Стили линий и значки могут быть изменены на вкладке Линия в диалоговом окне свойств ряда данных.

Дважды щелкнув по любой точке данных, откроется диалоговое окно Ряд данных. Это диалоговое окно позволяет изменить многие свойства ряда данных.

Для двумерных диаграмм здесь можно выбрать Вставка>Панели ошибок для Y, чтобы включить отображение панелей ошибок.

С помощью команд меню «Вставить» можно включить отображение линий среднего значения и линий тренда.

Только точки

Каждая точка данных обозначается значком. В OpenOffice.org используются стандартные значки с различными формами и цветами для каждого ряда данных. Стандартные цвета задаются в меню Сервис —> Параметры —> Диаграммы —>Стандартные цвета.

Только линии

В этом варианте прямые линии соединяют одну точку данных с другой. Точки данных не обозначаются значками.

Порядок рисунка совпадает с порядком в ряде данных. Опция Сортировать по значениям X позволяет прорисовать линии в порядке значений X. Эта сортировка применяется не к данным в таблице, а только к диаграмме.

Линии и точки

В этом варианте одновременно отображаются и точки, и линии.

Трехмерные линии

Линии отображаются в виде лент. Точки данных не обозначаются значками. В готовой диаграмме необходимо выбрать Трехмерный вид для установки таких свойств, как освещение и угол просмотра.

Сглаживание линий

Опция Сглаживание линий позволяет прорисовать кривые вместо прямых линий.

Необходимо выбрать Свойства для установки дополнительных параметров кривых.

Кубический сплайн интерполирует точки данных с параболами третьей степени. Переходы между фрагментами параболы сглажены и обладают тем же наклоном и искривлением.

Разрешение определяет количество линейных сегментов, вычисляемых для создания фрагмента параболы между двумя точками данных. При щелчке по точке данных отображаются промежуточные точки.

Би-сплайн использует точки данных как контрольные точки для формирования би-сплайновой кривой. Эти кривые формируются из парабол. Функция Порядок точек данных устанавливает степень k этих парабол.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

Постройте график линейной функции y=3,65х-1,5.

1

1. Запустите OpenOffice.org Calc.

2. На первом листе создайте таблицу по образцу.

3. Переименуйте ярлычок Лист 1, присвоив ему имя “График 1”.

2

5. Отформатируйте построенный график.

Произведите градиентную заливку области диаграммы и установите для нее обрамление.

6. Произведите текстурную заливку области легенды и установите для нее обрамление.

7. Вставьте подписи данных.

Для этого щелкните по нужному ряду и выполните Вставка —> Подпись данных.

8. Произведите формат оси X.

3

9. Произведите формат оси Y.

4

10. Произведите формат основной сетки оси X.

11. Произведите формат основной сетки оси Y.

12. Произведите формат дополнительной сетки оси X.

13. Увеличьте пропорционально размеры графика.

14. Сохраните полученный файл под именем Графики.ods.

Задание 2.

Постройте график функции y=sin2х на интервале [-10,10].

1. Откройте файл Графики.ods. Перейдите на второй лист, щелкнув мышью по ярлыку Лист 2.

2. Переименуйте ярлычок Лист 2, присвоив ему имя “График 2”.

3. Постройте график функции y=sin2х на интервале [-10,10] с помощью Мастера диаграмм (см. п.4 задания 1).

5

4. Отформатируйте построенный график, повторив действия п.5–13 задания 1.

5. Пересохраните полученный файл под тем же именем Графики.ods.

Задание 3.

Решите графически систему уравнений Image3445

1. Откройте файл Графики.ods. Перейдите на третий лист, щелкнув мышью по ярлыку Лист 3.

2. Переименуйте ярлычок Лист 3, присвоив ему имя “График 3”.

3. Постройте графики функций Image3446 и Image3447с помощью Мастера диаграмм.

Таблицы значений этих функций и их графики постройте таким образом:

4. Отформатируйте построенные графики, повторив действия п.5–13 задания 1.

5. Пересохраните файл под тем же именем Графики.xls.

Контрольные вопросы:

1. Какие задачи можно решить с помощью Диаграммы XY ?

4. Что такое “автозаполнение” и когда оно используется?

Источник